Kovarianzmatrix – Wikipedia

S3 guest-k3815 2026-06-06 21:11:05

# Kovarianzmatrix – Wikipedia In der Stochastik ist die Kovarianzmatrix die Verallgemeinerung der Varianz einer eindimensionalen Zufallsvariable auf eine mehrdimensionale Zufallsvariable, d. h. auf einen Zufallsvektor. Die Elemente auf der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix stellen die jeweiligen Varianzen dar, und alle übrigen Elemente Kovarianzen. Die Kovarianzmatrix wird auch Varianz-Kovarianzmatrix oder selten Streuungsmatrix bzw. Dispersionsmatrix (lateinisch dispersio „Zerstreuung“, von dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) genannt und ist eine positiv semidefinite Matrix. Sind alle Komponenten des Zufallsvektors linear unabhängig, so ist die Kovarianzmatrix positiv definit. Sei ein Zufallsvektor Weiter sei der Erwartungswert von , die Varianz von und die Kovarianz der reellen Zufallsvariablen und . Der Erwartungswertvektor von ist dann gegeben durch (siehe Erwartungswert von Matrizen und Vektoren) d. h. der Erwartungswert des Zufallsvektors ist der Vektor der Erwartungswerte. Eine Kovarianzmatrix für den Zufallsvektor lässt sich wie folgt definieren: Die Kovarianzmatrix wird mit , oder notiert und die Kovarianzmatrix der asymptotischen Verteilung einer Zufallsvariablen mit oder . Die Kovarianzmatrix und der Erwartungswertvektor sind die wichtigsten Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie werden bei einer Zufallsvariablen als Zusatzinformationen wie folgt angegeben: . Die Kovarianzmatrix als Matrix aller paarweisen Kovarianzen der Elemente des Zufallsvektors enthält Informationen über seine Streuung und über Korrelationen zwischen seinen Komponenten. Wenn keine der Zufallsvariablen degeneriert ist (d. h. wenn keine von ihnen eine Varianz von Null aufweist) und kein exakter linearer Zusammenhang zwischen den vorliegt, dann ist die Kovarianzmatrix positiv definit. Man spricht außerdem von einer skalaren Kovarianzmatrix, wenn alle Außerdiagonaleinträge der Matrix Null sind und die Diagonalelemente dieselbe positive Konstante darstellen. Ist der Erwartungswertvektor, so lässt sich mit dem Verschiebungssatz von Steiner angewandt auf mehrdimensionale Zufallsvariablen zeigen, dass Hierbei sind Erwartungswerte von Vektoren und Matrizen komponentenweise zu verstehen. Ein Zufallsvektor, der einer gegebenen Kovarianzmatrix gehorchen und den Erwartungswert haben soll, kann wie folgt simuliert werden:zunächst ist die Kovarianzmatrix zu zerlegen (z. B. mit der Cholesky-Zerlegung): Anschließend lässt sich der Zufallsvektor berechnen zu mit einem (anderen) Zufallsvektor mit voneinander unabhängigen standardnormalverteilten Komponenten. Die Kovarianzmatrix zweier Vektoren lautet mit dem Erwartungswert des Zufallsvektors und dem Erwartungswert des Zufallsvektors . Die Effizienz bzw. Präzision eines Punktschätzers lässt sich mittels der Varianz-Kovarianzmatrix messen, da diese die Informationen über die Streuung des Zufallsvektors zwischen seinen Komponenten enthält. Im Allgemeinen gilt, dass sich die Effizienz eines Parameterschätzers anhand der „Größe“ seiner Varianz-Kovarianzmatrix messen lässt. Es gilt je „kleiner“ die Varianz-Kovarianzmatrix, desto größer die Effizienz des Schätzers. Seien und zwei unverzerrte Zufallsvektoren. Wenn ein Zufallsvektor ist, dann ist eine positiv definite und symmetrische Matrix. Man kann sagen, dass „kleiner“ ist als in Sinne der Loewner-Halbordnung, d. h., dass eine positiv semidefinite Matrix ist. Die Kovarianzmatrix lässt sich in der Matrix-Notation darstellen als wobei die Einsmatrix und die Anzahl Dimensionen bezeichnet. Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit erhält man, indem man die Varianzen und Kovarianzen in der Grundgesamtheit und durch die empirischen Varianzen und empirischen Kovarianzen (ihre empirischen Gegenstücke) und ersetzt (sofern die -Variablen Zufallsvariablen darstellen schätzen die die Parameter in der Grundgesamtheit). Für die Kovarianzmatrix des gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Schätzers ergibt sich nach den obigen Rechenregeln: Diese Kovarianzmatrix ist unbekannt, da die Varianz der Störgrößen unbekannt ist. Einen Schätzer für die Kovarianzmatrix erhält man, indem man die unbekannte Störgrößenvarianz durch den erwartungstreuen Schätzer der Störgrößenvarianz ersetzt (siehe hierzu: Erwartungstreue Schätzung des unbekannten Varianzparameters). Bei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen (englisch: seemingly unrelated regression equations, kurz SURE) des Modells wobei der Fehlerterm idiosynkratisch ist, ergibt sich die Kovarianzmatrix als Die Kovarianzmatrix kann als Näherung an die Streuregion und die Standardabweichungsellipse dargestellt werden. Datenmatrix | Produktsummenmatrix | Prädiktionsmatrix | residuenerzeugende Matrix | zentrierende Matrix | Kovarianzmatrix | Korrelationsmatrix | Präzisionsmatrix | Gewichtsmatrix | Restriktionsmatrix | Fisher-Informationsmatrix | Bernoulli-Matrix | Leslie-Matrix | Zufallsmatrix | Übergangsmatrix Der Text ist unter der Lizenz „Creative-Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen“ verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. 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