Doob-Martingal – Wikipedia

S9 guest-crfm1 2026-06-13 10:11:04

# Doob-Martingal – Wikipedia Ein Doob-Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik. Dem Namen entsprechend gehören Doob-Martingale zur Klasse der Martingale. Doob-Martingale zeichnen sich durch ihre einfache Darstellung aus. Außerdem stehen sie in enger Verbindung zu den Martingalkonvergenzsätzen. Doob-Martingale selbst konvergieren bereits aufgrund ihrer Eigenschaften, die aus der Definition folgen. Die Martingalkonvergenzsätze beantworten dann die Frage, welche Martingale als Doob-Martingale dargestellt werden können. Die Doob-Martingale sind nach Joseph L. Doob benannt. Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsraum , eine Indexmenge sowie eine Filtrierung in und eine integrierbare Zufallsvariable , das heißt . Dann heißt der stochastische Prozess, der durch definiert wird, ein Doob-Martingal. Dabei bezeichnet den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable , gegeben die σ-Algebra . Die Integrierbarkeit des Doob-Martingals folgt aus nach der Definition, der Dreiecksungleichung für den bedingten Erwartungswert und der Regel über das Bilden des Erwartungswertes über den bedingten Erwartungswert. Die Adaptiertheit des Doob-Martingals folgt daraus, das per Definition immer -messbar ist. Der Nachweis der definierenden Eigenschaft für Martingale folgt aus der Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes: Jedes Doob-Martingal ist immer gleichgradig integrierbar. Dies lässt sich zeigen, indem man von der Zufallsvariable , welche gleichgradig integrierbar ist, über ein Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit, welches konvexe Funktionen verwendet, mittels der Jensenschen Ungleichung für den bedingten Erwartungswert auf die gleichgradige Integrierbarkeit schließt. Jedes abgeschlossene Martingal lässt sich als Doob-Martingal darstellen: Ist das letzte Element des abgeschlossenen Martingals, so ist Umgekehrt lässt sich jedes Doob-Martingal abschließen. Dazu setzt man sowie als letztes Element die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes. Setzt man so lässt sich aus dem Martingalkonvergenzsatz daraus folgende Aussage ableiten: Teilweise wird ein Martingalkonvergenzsatz für Doob-Martingale beziehungsweise für den bedingten Erwartungswert auch als eigenständige Aussage formuliert und dann als Satz von Lévy (nach Paul Lévy) bezeichnet. Er lautet: Je nach Quelle wird auch gefordert, dass die Zufallsvariable quadratintegrierbar ist. Die Konvergenz ist dann entsprechend im quadratischen Mittel. Der Text ist unter der Lizenz „Creative-Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen“ verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den Nutzungsbedingungen und der Datenschutzrichtlinie einverstanden.